MinString的博客

沁阳市第一中学生存指北

Fri, 23 Oct 2026 00:00:00 GMT

当你踏入这个校园，你便要开始每天重复的工作，高一二学习+考试，高三考试+复习，每个知识点都会翻来覆去，每次学习都在影响着后来的自己。在这里你需要做得事情只有保持思考，听从老师安排，少焦虑，多做事，还有活下去。想一想自己需要什么，哪一科不好，哪里不好，为什么不好，怎么提升。学不好的理由不应该是我本来就不好，我就不行，那这个世界就没啥你学的了的东西了。在高中大部分人目标简单，考高分，那就学，那就练，那就反思，那就调整，那就问，那就向老师寻求指导。

前人的经验总结的已经非常完美了，考试技巧、心态调整、学习方法、时间规划。在自己身上稍作调整，便是一个不错的手段。没有必要再写一个了。我之前已经写了好几版了，总是感觉不如意，这些明明是已经被说烂的东西，那为什么要反复的重复讲，换个人再说呀。我写出来的学习路径会有超人的地方吗，我会有什么独特的地方吗，我参加了信息竞赛算是吗，我经常上课昏迷算吗，我初中的成绩很一般算吗，我总是憋不住笑算吗，我有很不寻常的地方吗，我有什么超人的品质吗。想来想去还是没有什么，我就是一个普通的学生，尽力做好每天的工作，把日常尽力做好，把概念尽力理解，把错题尽量弄会，有时候还会有些逃避。而且我也写不动了，已经过去了半年，高中的记忆逐渐淡忘，我也想不起来什么了。最平常的工作已经忘记了许多细节，留下的大多是一些细节，这些大概率之后也会忘记。只记得与同桌在很晚回寝时候，乔园书记的一句“见证革命友谊”；只能想起来英语老师的愈挫愈勇，坚持给我们布置作业；记得和同学的激情辩论；记得化学老师的善良；记得班主任的经典语录......

我真的觉得我写不出什么东西来对同学们有什么启发。如果期望我给你们一句我最想说的一句话，那大概率就是“活下去”。坚持下去，平时做好，就不错了。至少对我来说，我对自己的期望一直是，郑大也行。对自己的目标是考得越高越好。平时就坚持做，坚持下去总能看到希望。

我还是把之前写的都搬过来吧，或许对各位有一些启发呢。

这两天突发奇想，把之前从办公室“偷来”的高三历次考试成绩单拿出来，丢改 AI 让他来分析谁最具有实力（他的算法比较简单，就是求比例，求平均值），我在第十几名。这个让我有点沮丧，不过也确实反应了一些问题。

我们其他两位考上清华大学的同学都是从初中开始就是万众瞩目的存在。我们也有好多实力不亚于我的同学，很遗憾没有过线。我当时上覃怀中学几乎是补录上的，我考沁中的时候应该在尖刀班算中游。有人比我聪明，有人比我努力多了，有人比我学的多。我发现可能我处于一个很诡异的位置，我不知道为什么是我，明明有那么多人比我强的多，凭什么是我来上清华，而不是他们。不只是尖刀班，其他班也有很厉害的，有人数学思维超级强，有人涉猎广泛什么技术都懂点，有人很擅长写作，有人也考进年级前十。我很少有什么想法，我从来都是学别人的，用别人的想法，跟着别人开始跑步，别人给我讲的圆锥曲线一般思路，跟着别人学时间规划。感觉我可以一直批判自己，一直做错事。

一直有一点想说的就是，用多长时间学习，熬夜怎么样。我是我羡慕那些可以一直学的人，可是我不像他们一样能熬，我就把白天时间，我就把上课时间用好，我有劲的时候就多学点，没劲的时候就适时调整一下。

只找自己茬不行的。我高考这次考好一定是有原因的，我自己找找原因，发现好像是很普通没什么特别的，感觉讲不出来什么东西，甚至也未必就是一个原因。或许我比较坚强，高考前一个月我的成绩考的一次比一次烂，可还是坚持做事（肯定有人比我坚强）：或许是我比较乐观（乐观的人多了去了）；或许是我运气比较好（这或许是最好的解释了）；也许是我比较喜欢数学物理（雾）；也许是我觉得这个世界很有善意（？）；也许行善积德？（可是有人比我善良多了）。总之很神奇，这是一个多因素的不可预测的事情......我们能做的就是坚持下去，把平常的作业完成，把知识理解透彻，把能做的事情做好，高目标低预期总是好的。

最开始写的时候总想写每个科目怎么学，具体怎么做，可是想来想去，有啥用呀？说白了，刷题，积累（知识点/技巧），练字/卷面，分析，总结，没得跑（这都是老师说烂的话了）。自己有主观能动性的话，总会去想办法的，总要坚持的，总感觉具体的方法不会差太多，方向正确去做去调整就是没毛病的。我的学习方法会有什么参考价值呢。

话说，为什么要来清华呢，我之前听过“把全国最优秀的人聚集在一起，清华的任务就完成一大半了。”这就意味着这里的人脉和资源是独一档的，我们上清华或许可以不看专业吧，专业课学不明白可以逼自己搞社工，不喜欢专业的话可以转（虽然也比较困难），这里足够大，一定能找到自己想要的生活（至少得不退学）。（我没上过北大，不能评价，大家可以自己看）。其他高校呢？肯定也不会差的。那专业，学校，城市哪个重要？那就是个人看法的问题了

沁阳市第一中学生存指北

怎么说呢，我之前写了个比较具体的，涉及到了一些我在一些题目的很多题目的方法。跟同学们交流之后，感觉这是最没有用的部分。毕竟我的方法讲的太多，太嘈杂，就像一个手册一样，没人记得住，没人想看。看别人的学习方法没有多少用，这一个人的未必适用于自己，也用不上。不管什么办法，没毛病，坚持去做，就会有收获。

感觉还是给各位讲点故事吧，看看这个人是怎么在高中活下去的😄。或许能够给大家鼓鼓劲。

语文

语文真是我的大坑，我语文从小烂到大，原因很复杂，主要是不敢表达、也不想表达。我在高中最头疼的就是语文了。感觉语文最吃积累了，像是简答题，没见过相似题型，那就是不会，也许是我没有拼尽全力去背诵导致的。在高一刚开始的时候，我预期语文能够考90已经不错了。但是这太差了，所以我就开始补语文（为什么我不在初中就补呢？因为我当时认为坏就坏了。但是到高中，短板效应有点变态），最开始我是自己买了一本必刷题去做，后来老师介入了，开始写老师安排的任务。高二，我一直跟着老师干，成绩也是非常的稳定在100-110，没有提升也一般不下降，或许是所谓的瓶颈，也有可能是我没有非常主动地去干。感觉就是得主动，不主动真的没有什么提升的机会。感觉高二提升最大的一次是因为一些事情离开qyyz了两星期，回来之后我把期间学的《苏武传》认认真真地看了好多次，把意思给搞清楚了，感觉学了很多。~~虽然这是基本要求，但是我好像基本上没有做到过~~ 之后我就在高三的时候，自习课比较多，我估计我大概拿了一半的时间给语文了，坚持每天要做一篇文言文，剩下的时间会做一些其他题。假期期间，一般事情会比较少，在学校可能连着几天都是自习课，那我一般会把时间大部分丢给语文，进行刷题。高三最后，我会每天写一篇作文，有时候我还会在午练的时候悄悄地跑到没人的地方背作文。~~别学我，要是平时好好训练不需要这样~~ 还有就是练字，这个确实关键，很重要。我其实一直有练字的，主要是写端正，也没有去改字体，不管怎么说，比以前好了一些。

数学

听说过华罗庚说一句话“天才在于积累，聪明在于勤奋。”感觉起来没有什么问题，说算得快、想的快，这确实是训练出来的（确信）；天才在于积累，有些时候你会发现有人总是能够想出来难题怎么写，有灵感，在我看这就是说积累的（确信）。对于数学，我是一个兴趣驱动型的学习者，还有一定的自尊心(雾)，看到什么有趣的问题我会去研究，什么时候落下去了我会用劲去补。这也是为什么我有时候会拿数学课写物理，拿物理课写数学(当然次数还是很少的)。但是积累是必不可少的，感觉总是在积累，积累思路，积累定理，积累二级结论。在高三开始的时候，我跟着我同桌做数学，每天做压轴题，就在那百天左右把近十年的高考压轴题都做完了，做得很难受呀，怎么办呢？就想办法。比方说我要求自己导数题一定要画图，不画图我分析不好，圆锥曲线题我必须把全过程想完、去想优化不然我不算。在高三100天的时候，我在数学课外几乎不主动碰数学了(除非我同桌给我丢一道题，一般这道题会吃掉我大半截自习课或者让我变成全班最后一个离开教室的人)。高中数学要说我最难忘的是什么，那绝对是我在学解三角形的时候难受死了，什么题都不会，一直练习，以至于我做梦都是三角形，到后来这些题都不是问题了。这两天我看到了一个有趣的成语谐音“遇数临疯”：学数学哪有不疯的，只是强撑罢了,数学确实难，不要因为自己难题不会就过分责怪自己，你不会，大概率没人会。

英语

英语，其实我还是可以的，高一就一直在120~130。不过还是有坚持搞英语的，不过开始的晚一些。我在高一期间的一次放假外出培训的几天内，每天用早上的一两个小时背单词，将一本书单词背的非常熟练。于是那之后一段时间内我的英语成绩总是非常靠前，虽然感觉背的单词不一定用上了，但是成绩总是很好。我想来或许是英语学科的特点，也就是说英语需要单词基础，且对语感要求比较高，需要一定的逻辑思维。或许我在那一段时间，既巩固了单词，又在不断背诵的时候提升了对英语的感知。高二，老师安排任务我没有很主动写的，没有主动去想着做什么，在高二也算是提升不大吧。高三呢，我们班来了一个灭绝师太级别的老师，管得很严，然后就被迫坚持高强度工作，这属于是不得不提升了。不过还可以，老师管得严，人特别好，都能理解，我们就是保持几乎两天一套题的水平，就是一直在保持练习。

物理

物理，是个人比较喜欢的科目呢。我物理怎么学的呢？感觉我做得事情就是没什么复杂的，把作业写完，喜欢思考问题/找碴。这个科目真的算是我自习课花功夫最少的了，感觉我来分享物理完全是负面的😅️。举几个例子吧，有一次我作业差了一些，我还记得是库仑力那一章的，我直接红温了，晚上吃饭的时间我没有去吃饭，去写作业去了。还有一次，有一道压轴题，用到了一些非常诡异的方法，好像是基尔霍夫电压定律类似的，当时和一个同学讨论、查资料，在放学后半个多小时才回寝室。物理上真的有很多同学比我用功很多，我语文上用的时间也确实比大部分人多很多，可是我们可能会忽略那些科目在脑中停留的时间，在过去花的时间，实际上用的脑力，这很难评判欸。

化学

化学这个科目，教材非常重要，书上的每个知识点，每个实验，每个课后题，尽量做到很熟悉（总是会有记不清的）。化学实验，理解原理，牢记步骤和注意事项。这个很神奇，不知道为什么我化学比较好，我其实在课下没花什么时间，课上讲的一般都记得住。不过背书时间确实记了不少东西，化学书虽然不能几乎完全记住，但是当时我是能做到每一章有什么内容基本上记得住的。

生物

这一科，好令人难受。需要很多背记的内容，还有不少语言叙述。我一直是被批评的hhh，有个知识点忘了,就再背，忘了就再被做错，然后再背。我始终难忘那信息的作用，背了好多次啊。到了高三有一个新的任务，抄书，当然抄中间就不想抄了。不过后来又开始了，在100天的时候，我的生物还是比较弱，我就每天抄5个知识点，~~虽然中间断掉的总共会有20天左右~~，这个真心感觉见效绝对是不快的，直到高考前，我的生物一直就是那个样子，不过努力终究是有回报的，高考考了历史最高分。

碎碎念

保持好心态。
多活动，保持一个好的精神状态。
该学习学习，该休息好好休息。不要颠倒了。
听老师的安排，一般来说我们的老师不会蓄意害人的。

不管怎么说，高中一定是一段非常难忘的时间。之后大概率会怀念的，在该奋斗的年纪拼尽全力。祝各位有美丽的一天。

沁阳市第一中学生存指南

我来分享一下各科的学习经历和我对各科的。

各科经验

我来分享一下我各科的学习经历和对各科的看法。

语文

语文是很难在依靠几天的努力提升很多的，语文需要长期主义，也就是说需要每天坚持做。因为我的语文基础比较差，我在高中最头疼的就是语文了。在高一刚开始的时候，我预期语文能够考90已经不错了。但是这太差了，所以我就开始补语文（为什么我不在初中就补呢？因为我当时认为坏就坏了。但是到高中，短板效应有点变态。），最开始我是自己买了一本必刷题去做，后来老师介入了，开始写老师安排的任务。高二，我一直跟着老师干，成绩也是非常的稳定在100-110，没有提升，或许是所谓的瓶颈，也有可能是我没有非常主动地去干。之后我就在高三的时候，自习课比较多，我估计我大概拿了一半的时间给语文了，坚持每天要做一篇文言文，剩下的时间会做一些其他题。假期期间，一般事情会比较少，在学校可能连着几天都是自习课，那我一般会把时间大部分丢给语文，进行刷题。高三最后，我会每天写一篇作文。

教考衔接

这个有两个方面：古诗文默写、其他。

名句名篇是语文考试必考的6分，一定要背会背熟，需要每天早读巩固，一遍一遍来。肯定会遗忘，学习就是和遗忘做斗争。我比较建议在每次做错的时候把自己的错误和错因记录下来，选错的和错别字可以分开记录，在每次考试之前可以看一次这些易错的内容。此外有一些经典的句子可以在作文里面用上。
现在教考衔接似乎已经成为了一种趋势了，考试中会出现课本的篇目，而且一些题目会有课本里面单元学习任务的影子。这就说明需要注重课本，在学习的时候可以注意听讲，如果到了高三，可以在平常抽出来一些时间专门用来熟悉课本，既可以熟悉课本，增加输入来帮助输出，还可以调节压力。

作文

这个是我很头疼的一个部分，我的最大问题在于不敢写，写不出来字。你可以想象一个人熬了半个小时憋出来一段话。这就是我之前的状态。这一点我的克服方法是每天强制自己写东西，每天自习课分40分钟给写作，要求自己在这么长的时间内写完一篇作文。我说服自己去写的理由是“我好好想好久再写和我快点写得分差不多。写完就是胜利，写不完得分肯定差。”，这样我的任务就变成了写完，而不是写一篇完美的作文。

作文我认为就是这么几件事：练字，积累素材，积累逻辑/框架。然后就是拼凑，基本上所有的作文都是在平时准备的，考试凑起来。

练字这个很关键，可以说语文学习三分之二的时间都用来练字都不为过。一个好的卷面和字体会给改卷老师一个好印象，是一个很重要的加分项。如果字体不好，可以练习一下字体，把字给写端正，写大，这是最重要的。到了高中，没那没多时间来学习一个新的优美的字体，这就需要我们在已有的字体基础上修补。比较建议用方格本，占格80%，把字写端正（横平竖直，基本上所有的竖基本上平行），不需要追求很优美，追求工整为主。~~当然优美最好了。~~
积累素材，可以是万能模板，也可以是积累人物事件素材。我们有人整个高中不管什么作文就用一个结尾，可见万能模板还是很有用的，积累两三个就够了。积累人物素材的时候，注意积累一些经典的，积累多个方面的（比如科学家，文学家，运动员...），可以适当用一些比较新的素材，其中如果可以记住一些数字、一些细节会更好，这样可以显示自己是真的了解过这些事件，而不是听一个名字。写的时候不要堆砌，也就是说不要放一个例子就丢掉(A做X,B做Y，C做Z)，建议这样身份+名字+事件+结果，最好再融入一些意象/细节，让内容更形象。积累了素材要用一用，最好能够在最近的考试用上，不然跟没积累没区别，而且容易忘记。
积累逻辑，就是说积累写作的角度和规范。作文一般就是议论文，得有思辨才行，一元找对立、找极端，二元的逻辑比较多，三元也有固定的几种逻辑。识别出来，然后把这个道理讲明白。这个道理/中心论点要有点偏向，排除掉一些漏洞，一些极端情况。然后根据三段，考虑写多少是什么``为什么``怎么办``思辨，然后填充。
思辨？这个老师们应该会讲的，我的理解就是，想到对立面、极端情况，不同情况下干什么。还有要注意写措施，要具体。就举个例子，不要说要努力学习，要布置具体的任务；不要说找到平衡点，要说在什么情况下干什么。大概就是这个感觉。

练习

相信具体某一题怎么做，同学们总能找到自己的方法，老师们也都会讲。我就讲一下如何训练的吧。

首先就是贵在坚持，前面已经提到过了，就不具体说了。总之就是只有坚信自己能提升，不看暂时的成绩起伏，不要因为一时考好考坏就松懈或自暴自弃。要相信自己一定能够提升，而且可能需要一两年，甚至高中三年。
自己去做，动脑子。要分析自己的薄弱点，分析某套卷子为什么错，不要停止于答案是什么，要问自己答案为什么这么写，有什么通式。此外，说出来一般来说是要比自己看完更有效的，在古文翻译尤其是这样，能够把翻译讲出来给别人听，才算是真正懂了。
规范化答题。只有平时足够规范，在做题都时候才会更加顺畅。不仅是规范化答案书写来显得自己训练有素，平时规范做题方式的规范（比如说圈画，做题顺序），可以降低低错的概率。

错题本/积累本

错题本很关键，做题往往会在相同的地方多次出错，错题本记录错题，我还比较建议单独拿一个本或错题本反过来翻当积累本。

错题本，我一般按照每次考试来记录，每次考试两个半小时，每次细致的整理可能需要一个多小时，甚至更长的时间。主要记录错因，涉及到的知识点，答案要点。
积累本，其实这两个边界没有那么清晰，因为错题本也有积累的作用。除了积累各种名言和模板，我一般会专门留一页专门用于记录某一类题型的错法，比方说如果我文言文的选择题一直做的不好，我会把我做错的题专门在这一列总结起来。实践检验，比较有效。

练字

单独拿出来以显其重要性。

数学

数学怎么说呢，不好评价........可能会认为学习数学需要天赋，在一定程度上来说是这样的，可是我认为更多的还是积累。很赞同一句话天赋决定上限，努力决定下限，但是很少有人达到下限。我们很少有牛顿那样的天才，这是多少年一个的天才，更多的数学家是在一个已有的知识上深入研究。高中的内容只要好好学，一般来说基本知识是没有什么问题的。

关于超前学习：我觉得没必要，迟早要学的。这点差距会在之后慢慢补上。学大学内容的话，不能说没用，如果认真思考好好学，这对提升思维肯定有效，但是这是没必要的，我就没有这么干。而且，后面的数学工具也未必用得上。还有就是，平时在学习的时候，一定会遇到超出高中范围的技巧的，积累那些常用的我认为就够用了。最重要的还是要把基础打牢。

练习

在我看，数学也很吃积累，需要熟练度。同样的，也需要重视错题本。~~（会发现练习方法与语文很相似）~~ 那数学好和数学差有什么区别呢。我认为有一下几点：数学直觉、计算能力、分析能力、积累量、规范。

数学直觉。直觉是一个很神奇的东西，相当于是素养了，就是感觉应该这样写，要么可以认为是思维习惯，要么认为是条件反射。你会发现有一些人经常能够想出来一道题怎么做，这我认为就是要么见过这类题，要么就是素养到了，有一种直觉。素养其实就是有一种思维方式，其实也是积累为基础的（没有见过类似的思路是难以想到的），当然积累的大概率之后会忘记，但是“得其意忘其言”，也许在某一时刻会用到。当然说素养还是太抽象了，这是最终的追求，需要一些如何做。在我看来就是积累和理解。将概念理解透彻，广泛地积累定理/思路。
计算能力。就是会算，耐算。有简便的计算方法，而且不怕大量的计算。这就需要多算，多写。提升计算能力是需要刷题来提升的。
分析能力。这个我认为是数学里最关键的。如果能够去分析，那么做题的时候就会有方向了。分析主要就是预判，脑子里大概想一下，过一下，因为不是具体的算，所以会比较快，多想一些，就能够减少计算量了。这可以让过程更加简洁，并且减少出错。
积累。这个真的很很很重要，这是数学做题的基础。如果你没有见过某道题的思路，怎么能写出来呢。不是说只去做学过的题，思考当然很重要，如果有充足的时间，基于那些基础的知识，想出来一个自己的思路在学习过程中是提升思维比较有效的。但是我们很难一直创新，我们需要站在巨人的肩膀上，有很多人研究高考的，我们可以学习那些方法，找到一些自己喜欢的方法，并经常使用。值得注意的是，积累不是看过或者打印出来就行了，需要自己写几遍，用几遍才是自己的。
规范。规范就是说思路的呈现，书写的规范。规范有这么几个作用：便于批改、减少低错、提升思维。首先就是让改卷老师看起来舒服，能够减少批改问题。然后就是书写规范有助于让自己在书写、演草的时候看的更清晰，以此减少出错。接着是提升思维，正如礼和仪是相辅相成的，外在的形式可以帮助内在的提升，如果每次书写都是遵守数学规范（例如规范数学语言的书写，不跳步），那么可以严谨自己的思维，提升自己的数学感知。

一些例子

我以一些题型为例子讲讲我是怎么学的吧。

解三角形。这是一个我很难忘记的题型，可能需要一些手法来解决这类题，主要就是正余弦定理的来回应用。定理简单，使用难。在各种使用方式熟练之前，做这种题是比较难受的。刚开始的时候一定会出现不会的情况，我会对这些题目印象比较深刻，以至于我在那一段时间早上时候，会因为梦见解三角形没解出来而起不了床。~~这很神了~~
圆锥曲线。这种题一般会出现在准压轴的位置。在高二学的时候，这就是难点，高三更是这样。我最开始做题的时候比较盲目，就是算嘛。直到有一个同学告诉我他的做题思路，定点/定线，先分析后计算，这让我做这类题的时候有了明晰的路线。我并没有去故意积累大量的二级结论，但我会把一些看起来比较有用/比较漂亮的结论记录下来。重点还是积累思路，锻炼计算能力，把最基本的掌握住。到高三的时候，我在300天的时候，每天和同桌练习一道圆锥曲线，但是再高三由于时间紧张，我们有了新的工作，取舍，题目不是难的好，而是难而能做、有区分度的好，所以对于一些神仙模考题，丢掉而不过分纠结，是一个不错的选择。把那些真正值得探索的题目拿出来记录，学习。

总之就是保持思考，坚持练习。

错题本

错题本重要性就不阐述了。错题本以自己用着顺为主。我一般会在错题本上抄写或粘贴题目，然后自己用铅笔把解题过程写一遍，标记一下错因和思路来源。主要目的就是把思路理清楚，理解每一步的合理性，记录下来用于复习。考试前的复习时间可以过一遍错题本。

心态

心态对于自己实力的发挥很关键。尤其在数学上。在后面我还会说，这里我就在数学的语境下先提一下。

数学好难，数学想出难题太简单了。设置一些从来没见过的奇技淫巧，加大计算量，都可以为难人。经常会有人因为数学题难，自己考的差而难过，甚至于破罐子破摔，整场考试都坏掉。不要过度在意成绩，注重从考试中学到什么，弄懂错题/难题，搞清楚时间规划/做题规范的漏洞。高考前的考试都是模拟。

英语

英语作为一门语言学科，是最具性价比的一个科目，只要肯努力，肯大量练习，就能够提升。英语很吃熟练度，而且是比较讲逻辑，也很看预感。有这么几个题型:阅读，七选五，完型，语篇填空，作文。各个题型都有侧重点。

英语的水平需要大量的投入：

曾经我在高一期间的一次放假外出培训的几天内，每天用早上的一两个小时背单词，将一本书单词背的非常熟练。于是那之后一段时间内我的英语成绩总是非常靠前，虽然感觉背的单词不一定用上了，但是成绩总是很好。我想来或许是英语学科的特点，也就是说英语需要单词基础，且对语感要求比较高，需要一定的逻辑思维。或许我在那一段时间，既巩固了单词，又在不断背诵的时候提升了对英语的感知。
我们班有一个同学非常努力，在高三的时候每天刷一套英语卷子，在最开始她的英语不太好，但是过了几个月，她的英语总是稳定在班里的前几名。反过来，我们班有一个同学平时的英语成绩是比较好的，但是她的数学物理不太好，她将大量的时间用于数学物理，忽略了英语的训练，自习课的时间没有分配英语，后来她的英语不再稳定考前，在很多次的波动之后，她意识到了问题，又开始专心训练，成绩再次回升。

下面我说说我对各种题型的理解，以及一些技巧和训练方法。仅供参考。

阅读

单词/词组
- 单词和词组肯定是英语的基础，一定需要掌握课表要求的单词，最好还能在平时做题时积累生词、熟词生义、词组。此外，阅读题里面肯定会有生词，没有生词的题是不正常的。但是这些生词一定是不影响做题的，可以根据上下文猜出词义。
题目类型：

概括文意/细节题这种题就干三件事：找到答题区间，同义替换，比对。
- 答题区间，这个需要看题目的顺序以及各个段落的内容，因为英语题文同序，我们可以根据在第几题初步缩小范围，然后根据题目的信息/关键词（如人名，事件，事物名等）再缩小范围到具体的段落，最后到具体的句和词。
- 同义替换出题人容易出带原词的选项作为干扰项，所以一定要注意，正确的选项一般为同义替换，不排除有部分题目会用原词，所以说平时做题和积累的时候要注意近义词和同义词，并且注意近义词的细微差异。
- 比对，这一点注意与原文内容比对，是否以偏概全，是否和原文内容前一半一致，有一半不一致。
推断题这种题还有四种：隐藏含义，写作目的，作者态度，续写下文。
- 隐藏含义（infer） 做这种题首先就是文意理解，选择时一定要有理有据，根据文章原文和主旨，不要只凭看完文章之后的感觉。推断不可超过一步，超过一步就是过度推断了（这个是根据做过的这么多题找到的一个规律）。
- 写作目的，这种题有某一段的目的和全文的目的。如果是某一段的目的，那就要首先知道那一段说了什么，并且注意，一般来说那一段的内容不是目的，要根据上下文判断，但这不是绝对的。然后是全文的目的，这和主旨大意类似，需要看首尾段，贯穿全文的关键词，作者的主要观点。
- 作者态度，做这种题首先得了解常见的态度如supportive critical pessimistic tolerant，态度一般容易看出来，但是注意转折词，以及到底是谁说的，转折后的往往是关键。
- 续写下文，个人做这种题喜欢把每一段概括并分层。例如，看看文章如果说有了为什么，是什么，缺少怎么办，那就选怎么办。此外，如果说文章里最后提到了新的内容，则有可能是和新内容相关。
猜词题这种题型类似于完形填空，但是除了完型填空的做法外（完型做法见完型填空），由于这些词给出了，我们会有更多的方式来得到词义。
- 认识，这个没的说，认识直接选，但是一定要注意一词多义，一个词你可能只认识它的一种词义，要判断选项在文段里是否合适。
- 合成词 ，根据词直接猜，举个例子meltdown，熔化-下，再加上文章中是某个人meltdown，可以是心情熔化且向下，那可以猜测是情绪崩溃。
主旨大意题标志一般是起标题或主要内容。这一类题一般被认为是比较难的，做这种题，一般的操作方式为，找关键词，看首尾段。看选项中是否有贯穿全文的中心词，以及选项是否片面，是否只是文中的某几段，是否过于空泛，是否中心词错误（例如是讲北极熊栖息地，还是讲气候变暖。这容易出错）。

七选五

七选五现在一般是说明文，现在记叙文的比例也在增加，难度在变大。七选五做题还是讲究一个同义替换。看上下文的意思，然后再在选项里找到合适的。

我比较建议的做题顺序是先把七个选项看了，然后圈画有关逻辑的词和关键词。主要指的就是关联词，代词，主语宾语。然后从前往后读文章，看选项的上下文，寻找意思想匹配的选项。这样做的话，可以在看文章之前对各个选项都有一些印象，圈画后也更容易找到逻辑词、代词、关键词，也不至于一直找选项。做题可能会更快一些。

完形填空

完形填空一般是记叙文的形式。考的一般是固定搭配，熟词生义，原文的理解，词义辨析。这就需要大量的积累，准确的词意理解，常见的近义词的辨析，熟词生义。这需要平时的积累，而不是短时间大量的记忆。而且我们会经常发现，之前不知道的词意，到之后可能还没记住。常复习常会，不复习印象是不会深刻的。常见的词意和短语见的频率高，一定要记住也比较容易记住：不常见的，可以记录在本上，短语可以根据动词系统的记忆，一定记得常复习。~~是不是可以说明忘了就不常用。~~

做完形填空，除了基础的牢靠，还需要对文章的理解。我比较建议做题的时候先不看选项，在看空的时候先想写什么，不是你想写什么，而是文章里缺了什么。在读完把握文章的大意之后，再去选选项。虽然看起来多读了一遍文章，要花费更多时间。其实并没有那么多，正产难度的完形填空，对我来说一般8分钟左右可以解决。

语篇填空

语篇填空，主要就是考的冠词、词组、单词变形、从句。冠词的话，主要看句子的翻译(在这一点上，中文和英文比较像)，积累的固定使用，考虑上文是否出现了这个名词。词组，一般就是写介词，或者叫作介词短语，这就需要积累了，而且一定注意上下文的意思，判断需要用哪一个。单词变形，这些需要考虑句子需要这里是什么成分，然后考虑这个单词在这里怎么变，具体怎么变比较看积累。从句，一般来说判断好句子的成分，看从句缺什么补什么就行，有时候多个引导词语法上都可以的话，看意思。总之就是积累+上下文，语法+意思。此外，谓语和非谓语考的比较多，一道题一般不会考相同的考点(adj/adv/n/v变形，prep，冠词，从句连词，不同形式的非谓语)。这是需要注意的。

小作文

小作文主要考虑格式，内容，练字。我认为主要考虑了文体，写作对象和笔者身份之后，格式上一般不会有问题。然后就是内容了，一个很创新的内容比较难得，但是尽量想一些差异化的内容，不要总是老套，可以通过背记一些文章积累。然后就是背诵一些万用的金句，多用一些花哨的句子结构(倒装句，强调句，从从句)。学了就用，老师们都是比较乐意看到自己教的内容学生会用上的。可以尝试积累一些课外的单词(比如说一些四级单词)，写作时可以用上，但是要注意不要追求那些过于生僻的词，观感会比较差。重要的还是精准的地道的表达，以及学以致用。更重要的是字体卷面，虽然说现在要求看内容，不凭字体给分，但是由于考生太多，老师们不会有那么多时间看，有一个好的皮囊才会有老师心甘情愿地去看你的内容。平时就要坚持练字，写作文的时候一定要写满，最好不由留空。

读后续写

那么我在这里就先强调练字了，很重要的。"英语作文就是看字体"这句话不是假的。

情节上写的合理一般都是能做到的。读后续写一般来说写的就是细节，用描写来动人，也就是Show,Don't tell，多写神态描写，动作描写，心理描写，少一些直接的讲（比如说不要写he's happy可以写His eyes are shining with joy.）为了做到这一点，我一般会把自己带入，想象自己会做什么动作，有什么表现，然后描述出来。到后面，有一段时间我们班主任允许使用手机来批改作文，我一般从这几个方面让AI给出建议：语法错误，中式表达，伏笔照应，语言表达，主旨升华。前两个就比较细节了，需要保持注意。伏笔照应，我一般建议在材料里面标记出来，一般就是物品，对话，人物，在续写的内容里面写出来的话，可以增加情节连贯度。语言表达就是表达的是否精准，是否生动。主旨升华是可以准备的，读后续写就那么多主题，每一种准备一两个，而且一般来说很多个主题可以用的主旨升华句都是通用，只需要改动一小部分就可以了，记忆难度不算太大，我最常用的就2个。虽然我用的只有那么几个，一直用，但是改卷老师永远是第一次见，只要我备的比较亮就可以。

做题技巧

把握文章主旨
- 有很多题目两个容易排除，剩下的二选一容易选错，一般可以找不同，然后根据文章主题选择更合适的。
- 如果真拿不定，那可以先放一放，先凭借第一感觉写一个答案放上去，做一下标记。等回头有时间了再写。
出题人意识
- 把握出题规律，已经出题人的目的。出题人出题一般都是设置坑的同时给梯子，生怕全部考生都掉坑里，又怕没人掉坑。这些是可以通做题思考找规律的。比如说想考什么知识点，怎么出题，答案怎么让考生找到，怎么设置易错点。。举一些例子：题文同序、转折句易出题，长难句易出题。所以可以针对转折句，长难句相关的内容进行训练，对这方面更加的敏感，以此达到不易掉坑的目的。
圈画答案来源
- 出题人出题一定是给做的，不希望出的题有问题，害怕出错后被其他的老师和同学口诛笔伐。所以说题目答案一定是有根据的，一定要圈画去文中找依据，圈出来并不费事，多花点几秒钟一般比再回来找不到花费的时间少的多。
主谓宾，找主干
- 英语表达的习惯就是主句是主要的，从句不那么重要。可以通过句点来找找一个句子，通过主句里的主谓宾来快速找到句子的主要意思，毕竟去掉所有修饰成分的句子主干可以看的更清晰，这样可以更加快速地把握句子主要想表达的意思。每段的句子都这么操作的话，那就可以比较快比较准地找出一段的意思。
but/however转折
- 经过实践，这是一个非常有效的方法。由于逻辑性以及语言习惯，转折就意味着转折后的内容更加重要，也就是说转折前的内容可以忽略，只看but/however后面的内容。如果某些题目的选项中同时出现了转折前后的内容，那么一般会认为转折后的是正确的。

训练

限时训练/时间规划
- 时间规划（每道题安排的时间/做题顺序）很重要，一个合理的时间对于考试的心态和考试的平稳都有很大帮助。例如可以遇到一个拿不定的题，如果已经花费过多时间了，可以先放一放，以免耽误后面做题。如果说做题较慢，跟不上，我的建议是可以限时训练，慢不是因为写字慢，而是因为思考时间太长了，如果可以增加熟练度，形成条件反射，减少思考时间，那么时间上就问题不大了。在英语上我一般认为是单词词组是否能快速反应出来什么意思，长难句是否能快速分析，是否有一套熟练掌握的做题技巧，对常见的关键词是否敏感，能否快速概括文意（找中心句）。
- 我的时间规划？我一般先做语篇填空和完形填空，大概给用时13分钟，阅读A篇给4-5分钟，B,C,D,七选五每个给7分钟左右。小作文20min,大作文看剩余时间给速度。对，没错，时间安排需要精确到每个细节。为什么我把时间全部用来写题而不检查呢？因为，做题的时候第一感觉比较重要，检查的时候容易把对的改成错的。
概括、分层、总结
- 我认为这是做阅读题的一个很有效的训练，语文上应该也会有的。就是概括段意，将段落分组分层，总结文章脉络/中心观点。段意一般就是找中心句，一般在段首或段位。分层就是把相同主题的内容合并成一部分看。总结就是说找文章的中心，可以通过划分各个段落的作用，找真正的文章的观点句（一般会在第一段末尾或开头，或者在结尾），也可以总结各个段落的意思。我一般会在做主旨大意题的时候把概括和分层都标在卷子上，这样做题会更加清晰。这样熟练之后，可以更快的掌握文章的结构，做题会更加清晰。
专项训练
- 哪里不会点哪里，专项训练可以在知道自己的薄弱处的时候起到节省时间的作用。可以训练题型，也可以训练同一位置的题。
练字
- 练字的重要性相信不需要再阐释了，一定要坚持练字，哪怕做不到一天一次，那就两三天一次。写好字体需要一个手感，这个需要平时坚持的练字。
背诵/积累
- 积累单词，词组，各种描写句子，准备几套金句。一般来说，老师会给时间，会有安排。早读，提神读认真背了，重要的还是用。不用永远是记不住的，写作的时候多用，不用就忘了。

~~（会发现我在英语里写的和其他不太一样，而且比较长。应该因为这是我第一个写的科目，还有我感觉就是在英语里我学到的技巧最多了）~~

物理

物理这个科目，欸跟数学也比较像，在我看来考验是计算能力、经验（积累）和心态。在今年的高考里面，我认为对基本概念的理解也很重要了。

计算能力。物理上尤其明显，有一些题看起来过程就超级复杂，看起来就讨厌，比方说一个多过程的压轴题，一个量很多而且难以找到一关联的过程，或者有十几个方程超级难解的方程组。不仅是耐算/不怕算，还需要能算/算的快/算的准。这在做难题的时候尤其明显，物理难题很大一部分就是重复，需要计算多次基本相同的方程组，计算2~3次就算完成任务了，不要畏惧慢慢来就可以，算多少是多少。这个需要大量的练习来提升，还需要一个平静的心态。
经验。这个就还是很积累，需要大量见题，大量刷题，积累物理模型了。如果训练的足够熟练，可以做到列方程到调节反射的程度，非常快。
心态。每次还是心态，这次我在物理的语境下说一下。我们需要这样想，考的差不是因为压轴题没有做出来，而是因为会的题没有做对；那些创新的超难的题，出出来就是废题，几乎没人做得出来，不需要做对。所以说不需要为了压轴题最难的几分，前面写的很草率导致扣分。我们考试的目的是得分最大化，而非将难题都做出来，只要将自己会的题都做对，那这张卷子就是胜利的，甚至可以算作是超常发挥的。

还有练习呢，讲讲大概的练习要点吧：

物理模型。物理的考题是可以基本上穷尽的，就算题面不一样，考的内容也不会创新。像板块模型、碰撞模型、电磁感应单棒……出的中档题一般就是拿一个模型，难题要么创新，要么就凑几个模型再加大计算量。如果熟练度足够，一步一步来基本上没有什么题是解决不了的（除了一些神仙题）。
压轴题。压轴题是有基本固定的出题方向的，多过程、等比数列、二次方程、创新等。训练的时候注意这些方向，有这些预期，如果一道计算题做的过于简单需要注意。有些压轴题是需要反复做的，只有
算出结果 /只列方程。一般来说，只有把题目完整的算出来才算做好这一道题。如果只列方程可以说是这道题并不会，因为压轴题一般是方程难列+难算。需要多算来掌握计算技巧，提升计算能力。这才能保证能算出结果。
实验题。首先一定要写方程/表达式，这一直被强调，我认为没毛病。
建议把一直错/容易错/不经意就错的写在错题本的封面不断地提醒自己。比如$f=\mu \dot F_N \neq \mu \dot mg$

化学生物

为什么这两科我合起来了呢？~~不是我写不动了~~，这两科我真的没什么理解，太碎了，太嘈杂了。这两科，感觉就是积累-忘-积累-忘的循环。

化学。一般来说我课上的时间是够用的，能比较快的完成任务，而且我化学考的一般比较好，所以我课下投入的时间不算太多 ~~或许这也是我高考化学考拉的原因~~。我做了什么？完成任务，逃任务，完成任务。我就是平时把任务完成，如果时间紧急完成不了，我会选择性地丢掉一些任务，优先完成那些更重要的。（批评就批评了，完不成还能时间倒流吗？
生物。让我很难受，有大量零碎的知识点，背了忘，忘了背。我在高一二的时候就一般学，完成任务。高二背知识点印象最深刻了，背一个信息的作用，背了一遍，会了，下次考试考到时候就忘了，再背，下一次考试又忘了，再背，这个知识点我现在仍然印象深刻hhh........到了高三，我开始抄书，一天抄5句话，或者抄知识点。就坚持干（虽然中间断有一段时间），我的成绩也没有什么变化。但是，高考有惊喜，生物99。

各个阶段

学习的知识之后是要忘记的，但是素养/思维方式是要保留的，我们不仅学的知识，更是锻炼思维方式。很多知识点就是背忘背忘，最基本的知识点经常用一般不会忘的。思维方式就是说，你会这么想，这就是见多了，写多了，想多了，自然就形成的。就像之前我一同学经常看操作文档，写文章自然写出来就那种文档感觉。总之就是，知识点上一直在和记忆作斗争，思维方式上一直在提升。

各个阶段都有对应要做的事情，我们的老师还是很有智慧的，听老师们的安排是不错的。

高一高二

这个阶段主要任务是学习，大量见各种方法（记不记得住另说）。数学物理学习各个部分的基本的内容，语文英语常态化积累，化学生物积累学习。
考试。

高三

学生向考生的转变 主要是两个方面：学习新知变少、考试变得更频繁

学习。这个是我高三比较痛苦的来源。因为我们基本上不再学习新知识了，都是旧知识来回滚。这也是高二和高三最大的差别了。高三搞的就是提升熟练度，补漏洞。for example，对于一道中档题，假如说高二看到需要反应10s，高三可能只需要反应5s。这不是说谁聪明，而是说谁熟练。
考试。到高三，考试是常态，心态一般，考到后面都会麻的。需要注意，考试一定要诚实，不要抄袭。不论考试结果是好是坏，不要太高兴或太难过，重要的是坚持做事。还有一个大高考观，就是说平时的考试都是练习，成绩都不算数，只有高考一次算数。

碎碎念

向善

错题本/积累/练习/做事

心态

同学关系

All in all

你会发现上面讲的有大量雷同......我好像并没有非常细致地讲某一项，而是重复讲了那么几项。这些我们老师们也多次强调，经常会说。诶呀，是否有启发，我不敢说。感觉总是重复的道理一直讲。

沁阳市第一中学生存指南1

前言

学弟学妹们好，我是26届沁中学生，很高兴能有机会分享一下我的学习经验。

自认为，学习和考试，看的从来不只是那些知识点与做题技巧，更是一个人综合素质的体现。学习的问题，大概率不只是学习的问题。此外，在高中我们会被安排大量的任务，知识点也会一遍一遍地过，学习的安排一定是过量的，只要紧紧跟着老师走，一般问题不大。所以我觉得应该在更加缺乏的其他方面多说一点。

万事都不是绝对的，我的认知也是只供参考，希望同学们理性看待，辩证取舍。

身体健康

身体是革命的本钱。

身体是一切的基础，不要干什么都说拼命，没有人会为你的身体负责。你知道吗，人和AI相比学习效率是很高的，AI成千上万小时学习的一件事，人可能几十个小时就掌握了。更容易注意到的是人容易分心，注意力和精力有限，不可能一整天总在高强度学习。所以说要劳逸结合，不要只是纠结于我今天多熬了2分钟，最重要的是将白天的充分利用，提高学习效率，不要一直熬，适可而止，熬坏了怎么办？身体垮了怎么办？人生不只有高中，还有未来的多少年啊！值得注意的是，这不是说要缩减学习时间多休息，而是该休息休息，该学习学习，学校的安排不可否认是有些紧张的，但是实践发现可以存活。

吃饭

我们同学有胃病的不少，或许是胡吃海喝导致的，或许是饮食不规律导致的，~~或许是压力太大压的~~。不管怎么说，吃饭规律是不错的选择，稍清淡的饭和稳定的用餐时间，都是健康的保证。

运动

又不是让你打职业的，偶尔打打球没问题，每个课间都打球，肯定有问题。 ——镊

上面这话没什么毛病，我们的职业是学生，到高三之后，我们的职业是考生。但是，自认为运动很重要，所以这句话可以不完全听。其实镊不是阻止运动，而是怕我们下课打球，上课想打球。跑跑步、打打球肯定是没问题的，大课间跑操，晚饭时间去操场这都是可以接受的。

睡眠

不用怀疑，没有人在高中是睡眠充足的，每个人都是瞌睡的。老师们都会理解学生们的辛苦。会发现有一部分人，每天照常睡觉仍然很困，容易在白天出现昏迷，我的建议是，补充点营养，自律一些，是管用的,别问我怎么知道 ~~，反正你大概率见不到我~~。

忙里偷闲

心理健康

焦虑

压力

瓶颈/无法提升

日记

道德

日行一善

利他/利己

同学关系

别太把别人当回事，别太把自己当回事，别太不把自己当回事。

相信老师

学习

动力源/学习目的

学习最重要的

工具，策略

沁中学生的四大法宝：错题本，满分卷，课堂记录本，学业成长手册

努力/天赋

培优补弱

沁阳市第一中学生存指南1

其实之前已经写过两个版本了，不过感觉总是写的很不好，有点像文档，在讲我高中各个科目都是怎么学习的，可是似乎有些偏离题意。这两天我把之前偷盗获得的我们高三的所有考试成绩发给了AI，让他写了一个脚本来分析，虽然使用的最小二乘法未必最真实，但是真的反应出来一些问题。

先讲讲我吧

我在初中属于是不瘟不火的位置大概总排在100名左右，平常也比较爱玩，折腾一些乱七八糟的东西。我对那些需要背诵的内容不太喜欢，以至于我语文、政治、历史方面的积累很差。但是对数理化，我很喜欢的，学习的也比较好。可见我对学习是主要以兴趣为准的。

高中之后，由于我比较喜欢理科（这里没有说理科文科哪个更高贵，只是我喜欢，而且对我个人来说文科是比较折磨的），选了理科成绩稍好一些吧，开始是巨大波动，之后一般会在20名左右。高一二我一直中午去机房学信息学竞赛，说实话这个用处不敢说，在我们小县城想要拿到竞赛名次，客观条件是几乎不允许的，所以说用处大致就是一个爱好，有点耐算，有点相关思维~~，以及去郑大比赛看了看郑大感觉郑大挺好的~~。

好了好了，就是这些。那就这样吧。祝你有美好的一天。

学习笔记3

Thu, 15 Oct 2026 00:00:00 GMT

其实是作业。第一次这样干，把作业写完然后用 LaTeX 打一遍，力竭了，以后这事谁爱干谁干，我是不会再这样写作业了。

高等线性代数作业 4

4.1

对系数矩阵进行初等行变换：

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 & 0 \ 2 & 4 & 5 & -3 & -1 \ -1 & -1 & -3 & 3 & 42 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 3 & -1 & -1 \ 0 & 1 & -2 & 2 & 42 \end{pmatrix} $$

$$ \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 1 & -2 & 2 & 42 \ 0 & 0 & 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{10}{3} & -\frac{247}{3} \ 0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{124}{3} \ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} $$

由此可得同解方程组：

$$ \begin{cases} x_1 &= \frac{10}{3}x_4 + \frac{247}{3}x_5 \ x_2 &= -\frac{4}{3}x_4 - \frac{124}{3}x_5 \ x_3 &= \frac{1}{3}x_4 + \frac{1}{3}x_5 \end{cases} $$

分别令自由未知量 $(x_4, x_5) = (1, 0)$ 和 $(x_4, x_5) = (0, 1)$，得到基础解系：

$$ \eta_1 = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \ -\frac{4}{3} \ \frac{1}{3} \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \qquad \eta_2 = \begin{pmatrix} \frac{247}{3} \ -\frac{124}{3} \ \frac{1}{3} \ 0 \ 1 \end{pmatrix} $$

4.2

证明：

对于线性空间 $W \subseteq \mathbb{F}^n$，任取其一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r \in \mathbb{F}^n$，其中 $r = \dim(W)$。构造矩阵：

$$ A = \begin{pmatrix} \alpha_1 \ \alpha_2 \ \vdots \ \alpha_r \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rn} \end{pmatrix} $$

因为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ 线性无关，所以 $\operatorname{rank}(A) = r$。

对于一个解空间 $W^$，由于 $\forall \eta_1, \eta_2 \in W^$，有 $\eta_1 + \eta_2 \in W^$ 且 $\forall k \in \mathbb{F},\ k\eta_1 \in W^$。故对 $A$ 进行初等行变换得到的矩阵 $A'$，其每一行向量组成的行空间不变。

不妨设经过初等行变换（及必要的列交换）后，简化阶梯形矩阵为：

$$ A \longrightarrow A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{1,r+1} & \cdots & b_{1n} \ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{2,r+1} & \cdots & b_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r,r+1} & \cdots & b_{rn} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \alpha'_1 \ \alpha'_2 \ \vdots \ \alpha'_r \end{pmatrix} $$

构造方程组 $(*)$ 如下：

$$ (*) \quad \begin{cases} x_{r+1} &= b_{1,r+1}x_1 + b_{2,r+1}x_2 + \cdots + b_{r,r+1}x_r \ x_{r+2} &= b_{1,r+2}x_1 + b_{2,r+2}x_2 + \cdots + b_{r,r+2}x_r \ &\quad \vdots \ x_n &= b_{1n}x_1 + b_{2n}x_2 + \cdots + b_{rn}x_r \end{cases} $$

易验证 $\alpha'_1, \alpha'_2, \dots, \alpha'_r$ 满足方程组 $()$，且是其一组基础解系。由于矩阵初等行变换可逆，$\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 与 $\alpha'_1, \dots, \alpha'_r$ 可以互相线性表示，故 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 也是 $()$ 的基础解系，即 $W$ 是该齐次线性方程组的解空间。

4.3

对增广矩阵进行初等行变换：

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 & -4 \ -3 & 1 & 2 & -5 & -4 & -1 \ 2 & -3 & -1 & -1 & 1 & 4 \ -4 & 16 & 1 & 3 & -9 & -21 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & -27 & -22 & 2 \ 0 & 1 & 0 & -4 & -4 & -1 \ 0 & 0 & 1 & -41 & -33 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$

则对应的导出组（齐次线性方程组）与原非齐次线性方程组分别为：

$$ \begin{cases} x_1 - 27x_4 - 22x_5 &= 0 \ x_2 - 4x_4 - 4x_5 &= 0 \ x_3 - 41x_4 - 33x_5 &= 0 \end{cases} \qquad \text{与} \qquad \begin{cases} x_1 - 27x_4 - 22x_5 &= 2 \ x_2 - 4x_4 - 4x_5 &= -1 \ x_3 - 41x_4 - 33x_5 &= 3 \end{cases} $$

取自由变量 $x_4 = x_5 = 0$，得非齐次线性方程组的一个特解：

$$ \gamma_0 = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 3 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} $$

对导出组，分别取 $(x_4, x_5) = (1, 0)$ 和 $(0, 1)$，得基础解系：

$$ \eta_1 = \begin{pmatrix} 27 \ 4 \ 41 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \qquad \eta_2 = \begin{pmatrix} 22 \ 4 \ 33 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} $$

故原方程组的通解为：

$$ x = \gamma_0 + k_1\eta_1 + k_2\eta_2 \quad (k_1, k_2 \in \mathbb{F}) $$

4.4

证明：

不妨设 $\gamma_0, \eta_i \in \mathbb{F}^n$，将线性方程组表示为向量形式：

$$ \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n = \beta $$

其导出组为：

$$ \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n = 0 $$

设特解 $\gamma_0 = (a_{01}, a_{02}, \dots, a_{0n})^T$，基础解系 $\eta_i = (b_{i1}, b_{i2}, \dots, b_{in})^T \ (i = 1, 2, \dots, s)$。由定义知：

$$ \sum_{k=1}^n a_{0k}\alpha_k = \beta, \qquad \sum_{k=1}^n b_{ik}\alpha_k = 0 \quad (i = 1, 2, \dots, s) $$

考察向量：

$$ \begin{aligned} \xi &= \gamma_0 + k_1\eta_1 + k_2\eta_2 + \cdots + k_s\eta_s \ &= \left( a_{01} + \sum_{i=1}^s k_i b_{i1}, \ a_{02} + \sum_{i=1}^s k_i b_{i2}, \ \dots, \ a_{0n} + \sum_{i=1}^s k_i b_{in} \right)^T \end{aligned} $$

将 $\xi$ 的每一维代入原线性方程组左边，得：

$$ \begin{aligned} \text{左边} &= \sum_{j=1}^n \left( a_{0j} + \sum_{i=1}^s k_i b_{ij} \right) \alpha_j \ &= \sum_{j=1}^n a_{0j}\alpha_j + \sum_{i=1}^s k_i \left( \sum_{j=1}^n b_{ij}\alpha_j \right) \ &= \beta + \sum_{i=1}^s k_i \cdot 0 \ &= \beta = \text{右边} \end{aligned} $$

故 $\xi = \gamma_0 + \sum_{i=1}^s k_i\eta_i$ 是原方程组的解。证毕。$\Box$

4.5

证明：

记第一个线性方程组为 $()$，第二个线性方程组为 $(\ast\ast)$。设 $A$ 是 $()$ 的系数矩阵，$\tilde{A}$ 是 $(*)$ 的增广矩阵；设 $B$ 是 $(\ast\ast)$ 的系数矩阵，$\tilde{B}$ 是 $(\ast\ast)$ 的增广矩阵：

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

$$ \tilde{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix} $$

$$ B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \ b_1 & b_2 & \cdots & b_m \end{pmatrix} $$

$$ \tilde{B} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} & 0 \ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} & 0 \ b_1 & b_2 & \cdots & b_m & 1 \end{pmatrix} $$

不妨将 $B$ 与 $\tilde{B}$ 进行转置得 $C$ 与 $\tilde{C}$，转置后矩阵的秩不变：

$$ C = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix} $$

$$ \tilde{C} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

由线性方程组有解的充要条件知：

$(*)$ 有解 $\Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\tilde{A})$；
$(\ast\ast)$ 有解 $\Longleftrightarrow \operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(\tilde{B}) \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(C) = \operatorname{rank}(\tilde{C})$。

发现 $C = \tilde{A}$，故 $\operatorname{rank}(C) = \operatorname{rank}(\tilde{A})$。因此只需证明：

$$ \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\tilde{A}) \Longleftrightarrow \operatorname{rank}(\tilde{A}) \neq \operatorname{rank}(\tilde{C}) $$

考虑 $A$ 可以进行初等行变换与不涉及最后一列的初等列变换，化为简化阶梯形 $A'$（其中有 $r$ 个 $1$），同步作用于 $C$（即 $\tilde{A}$）和 $\tilde{C}$：

$$ A \longrightarrow A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} $$

$$ C \longrightarrow C' = \begin{pmatrix} A' & \begin{matrix} c_1 \ \vdots \ c_m \end{matrix} \end{pmatrix} $$

$$ \tilde{C} \longrightarrow \tilde{C}' = \begin{pmatrix} A' & \begin{matrix} c_1 \ \vdots \ c_m \end{matrix} \ 0 ;;\cdots;; 0 & 1 \end{pmatrix} $$

记 $r_1 = \operatorname{rank}(A')$，$r_2 = \operatorname{rank}(C')$，$r_3 = \operatorname{rank}(\tilde{C}')$。只需考虑最后一列向量 $(c_1, \dots, c_m)^T$ 的情况：由于 $\tilde{C}'$ 最后一列含非零常数 $1$，故必有 $r_3 = r_1 + 1$。

若 $c_1 = \cdots = c_m = 0$，则 $r_2 = r_1$，此时 $r_2 \neq r_3$（即 $(*)$ 有解时 $(\ast\ast)$ 无解）；
若 $c_1, \dots, c_m$ 中含有 $1$ 个非零元（其余为 $0$），此时 $r_2 = r_1 + 1 = r_3$；
若 $c_1, \dots, c_m$ 不是上述两种情况（即含多个非零元），可通过矩阵初等行变换消元化为情况 2，仍有 $r_2 = r_1 + 1 = r_3$（即 $(*)$ 无解时 $(\ast\ast)$ 有解）。

综上可得 $r_2 = r_1 \Longleftrightarrow r_2 \neq r_3$，故原命题得证。$\Box$

4.6

证明：

设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，其中 $\alpha_k$ 为 $A$ 的第 $k$ 列向量。令 $C = AB$，其中：

$$ B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1s} \ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2s} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{ns} \end{pmatrix}_{n \times s} $$

由矩阵乘法定义，$C$ 的第 $(i, j)$ 元为：

$$ c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} $$

考察 $C = AB$ 的第 $j$ 列向量 $\gamma_j$：

$$ \begin{aligned} \gamma_j &= \begin{pmatrix} c_{1j} \ c_{2j} \ \vdots \ c_{mj} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^n a_{1k} b_{kj} \ \sum_{k=1}^n a_{2k} b_{kj} \ \vdots \ \sum_{k=1}^n a_{mk} b_{kj} \end{pmatrix} \ &= \sum_{k=1}^n b_{kj} \begin{pmatrix} a_{1k} \ a_{2k} \ \vdots \ a_{mk} \end{pmatrix} \ &= b_{1j}\alpha_1 + b_{2j}\alpha_2 + \cdots + b_{nj}\alpha_n \end{aligned} $$

故 $AB$ 的第 $j$ 列向量确为 $b_{1j}\alpha_1 + b_{2j}\alpha_2 + \cdots + b_{nj}\alpha_n$。$\Box$

4.7

(1)

考察基础矩阵 $E_{ij}$ 与 $E_{kl}$ 的乘积：$E_{ij}$ 中仅有第 $(i, j)$ 元为 $1$，其余全为 $0$；在矩阵乘法中，该元素仅与 $E_{kl}$ 中的第 $j$ 行元素产生非零相乘行为。

若 $j = k$，则在乘积矩阵的第 $(i, l)$ 处有 $1 \times 1 = 1$，其余为 $0$，即：

$$ E_{ij} \cdot E_{kl} = E_{il} $$
若 $j \neq k$，则对应相乘元素均为 $0$，即：

$$ E_{ij} \cdot E_{kl} = O $$

综上所述：

$$ E_{ij} E_{kl} = \begin{cases} E_{il}, & j = k, \ O, & j \neq k. \end{cases} $$

(2)

若 $i = j$，则 $A$ 任取。
若 $i \neq j$，设 $A = (a_{uv}){n \times n}$ 与所有 $E{ij}$ 可交换，即 $E_{ij}A = AE_{ij}$。
- $E_{ij}A$ 表示将 $A$ 的第 $j$ 行移到第 $i$ 行，其余行全为 $0$，即
  
  $$ E_{ij}A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} $$ （其中 $a_{j1}, a_{j2}, \dots, a_{jn}$ 位于第 $i$ 行）；
- $AE_{ij}$ 表示将 $A$ 的第 $i$ 列移到第 $j$ 列，其余列全为 $0$，即
  
  $$ AE_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1i} & 0 & \cdots & 0 \ 0 & \cdots & 0 & a_{2i} & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & \cdots & 0 & a_{ni} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} $$ （其中 $a_{1i}, a_{2i}, \dots, a_{ni}$ 位于第 $j$ 列）。
对比两矩阵的元素可得：如果 $AE_{ij} = E_{ij}A$，则应该满足

$$ \begin{aligned} & a_{jj} = a_{ii}, \ & a_{j1} = a_{j2} = \cdots = a_{j,j-1} = a_{j,j+1} = \cdots = a_{jn} = 0, \ & a_{1i} = a_{2i} = \cdots = a_{i-1,i} = a_{i+1,i} = \cdots = a_{ni} = 0. \end{aligned} $$

4.8

证明：

设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $\operatorname{rank}(A) \le 1$。

若 $\operatorname{rank}(A) = 0$，则 $A = O$。此时令 $a_i = b_j = 0 \ (1 \le i \le m, \ 1 \le j \le n)$，显然满足条件。
若 $\operatorname{rank}(A) = 1$，由于行秩等于矩阵的秩，即 $\operatorname{rank}_{\text{row}}(A) = \operatorname{rank}(A) = 1$，故 $A$ 中必存在非零行（不妨设第 $i$ 行不全为 $0$），且其余每一行均可表示为第 $i$ 行的倍数。

设第 $i$ 行元素表示为 $a_i b_1, a_i b_2, \dots, a_i b_n$（其中 $a_i \neq 0$），则对于任意第 $k$ 行，均存在比例系数 $a_k$，使得第 $k$ 行元素由第 $i$ 行乘 $\frac{a_k}{a_i}$ 得到，由此获得了第 $k$ 行的表示。

由此得到了 $a_1, \dots, a_m$ 与 $b_1, \dots, b_n$：

$$ A = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_m b_1 & a_m b_2 & \cdots & a_m b_n \end{pmatrix} $$

反之，若 $A$ 可写成上述形式，其所有行均为 $(b_1, \dots, b_n)$ 的倍数，故 $\operatorname{rank}(A) \le 1$。证毕。$\Box$

4.9

设线性映射 $\phi_A: \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m, \ \alpha \mapsto A\alpha$。

(1) 证明：$\phi_A$ 是单射 $\Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A) = n$（此时必有 $n \le m$）

对任意 $\beta = (c_1, c_2, \dots, c_m) \in \mathbb{F}^m$，有：

$$ \begin{aligned} \phi_A \text{ 是单射} &\Longleftrightarrow \forall \alpha_1 \neq \alpha_2 \in \mathbb{F}^n, \ \phi_A(\alpha_1) \neq \phi_A(\alpha_2) \ &\Longleftrightarrow \forall \alpha_1 \neq \alpha_2 \in \mathbb{F}^n,\ A\alpha_1 \neq A\alpha_2 \ &\Longleftrightarrow \text{线性方程组 } Ax = \beta \text{ 若有解则必有唯一解} \ &\Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A) = n \end{aligned} $$

(2) 证明：$\phi_A$ 是满射 $\Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A) = m$（此时必有 $m \le n$）

设 $A = (\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n)$，对于 $\alpha = (b_1, b_2, \dots, b_n)^T \in \mathbb{F}^n$，有：

$$ \phi_A(\alpha) = A\alpha = b_1\gamma_1 + b_2\gamma_2 + \cdots + b_n\gamma_n $$

$$ \begin{aligned} \phi_A \text{ 是满射} &\Longleftrightarrow \forall \beta \in \mathbb{F}^m, \ \exists \alpha \in \mathbb{F}^n \text{ 使得 } \phi_A(\alpha) = \beta \ &\Longleftrightarrow \forall \beta \in \mathbb{F}^m, \ \beta \text{ 可由 } \gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n \text{ 线性表出} \ &\Longleftrightarrow \operatorname{span}{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n} = \mathbb{F}^m \ &\Longleftrightarrow \dim \operatorname{span}{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n} = m \ &\Longleftrightarrow \operatorname{rank}(A) = m \end{aligned} $$

证毕 $\Box$

4.10

(1) 证明 $K$ 关于矩阵加法和乘法构成一个域

设

$$ K = \left{ \begin{pmatrix} a & -b \ b & a \end{pmatrix} \ \middle\vert\ a, b \in \mathbb{R} \right} $$

任取

$$ K_1 = \begin{pmatrix} a & -b \ b & a \end{pmatrix}, \qquad K_2 = \begin{pmatrix} c & -d \ d & c \end{pmatrix} \in K $$

易验证加法和乘法在 $K$ 上封闭。

加法交换律： $K_1 + K_2 = K_2 + K_1$，显然成立。
加法结合律： $(K_1 + K_2) + K_3 = K_1 + (K_2 + K_3)$，由矩阵加法性质显然成立。
加法零元： 定义 $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \in K$，则 $O + K_1 = K_1 + O = K_1$。
加法逆元（负元）： $\forall K_1 = \begin{pmatrix} a & -b \ b & a \end{pmatrix} \in K$，存在 $-K_1 = \begin{pmatrix} -a & b \ -b & -a \end{pmatrix} \in K$，使得 $K_1 + (-K_1) = O$。
乘法交换律：

$$ K_1 K_2 = \begin{pmatrix} a & -b \ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \ d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd & -(ad + bc) \ bc + ad & ac - bd \end{pmatrix} $$

$$ K_2 K_1 = \begin{pmatrix} c & -d \ d & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & -b \ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ca - db & -(cb + da) \ da + cb & ca - db \end{pmatrix} = K_1 K_2 $$
乘法结合律： 由矩阵乘法结合律知成立。
乘法单位元： $1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \in K$，满足 $K_1 1 = 1 K_1 = K_1$。
乘法逆元： 对任意 $K_1 = \begin{pmatrix} a & -b \ b & a \end{pmatrix} \neq O$（即 $a, b$ 不全为 $0$，故 $a^2 + b^2 \neq 0$），存在：

$$ K_1^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{a}{a^2 + b^2} & \frac{b}{a^2 + b^2} \ -\frac{b}{a^2 + b^2} & \frac{a}{a^2 + b^2} \end{pmatrix} \in K $$

使得 $K_1 K_1^{-1} = K_1^{-1} K_1 = 1$。
分配律： 由矩阵乘法对加法的分配律知成立。

综上所述，$K$ 是一个域。

(2) 证明 $K$ 与复数域 $\mathbb{C}$ 同构

定义映射 $\Phi: K \to \mathbb{C}$：

$$ \Phi\left( \begin{pmatrix} a & -b \ b & a \end{pmatrix} \right) = a + bi $$

显然 $\Phi$ 是双射。

保持加法：

$$ \Phi(z + w) = \Phi\left( \begin{pmatrix} a + c & -(b + d) \ b + d & a + c \end{pmatrix} \right) = (a + c) + (b + d)i $$

$$ \Phi(z) + \Phi(w) = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $$

$$ \implies \Phi(z + w) = \Phi(z) + \Phi(w) $$
保持乘法：

$$ \Phi(zw) = \Phi\left( \begin{pmatrix} ac - bd & -(ad + bc) \ bc + ad & ac - bd \end{pmatrix} \right) = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

$$ \Phi(z)\Phi(w) = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

$$ \implies \Phi(zw) = \Phi(z)\Phi(w)

$$

得证 $\Box$

学习笔记2

Fri, 09 Oct 2026 00:00:00 GMT

Weierstrass定理（单调有界数列必收敛）

证明：设${a_n}$单调递增且有界。记$X={a_n | n \in \mathbb{N}}$为由此数列构成的集合,$\alpha = \sup X$，则对于任意给定的 $\varepsilon > 0 $，由集合上界的定义(上确界是最小的上界)可知，存在 $N\in \mathbb{N}$使得

$$ \alpha - \varepsilon < a_N $$

由于${a_n}$是单调递增的，故当 $n>N$时有

$$ \alpha - \varepsilon <a_N \le a_n \le \alpha < \alpha + \varepsilon $$

闭区间套原理

定理内容

设有一列闭区间 $[a_n,b_n],n \ge 1,a_n\ne b_n$，满足条件

$$ [a_1,b_1]\supsetneq[a_2,b_2]\supsetneq \dots $$

并且有

$$ \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0 $$

则存在唯一的实数 $\gamma$使得

$$ \gamma \in \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n] $$

证明

证明： 考虑数列 ${a_n}$ ${b_n}$，他们分别是单调递增、单调递减的有界数列,记他们的极限分别为$a,b$,由于 $a_n<b_n$，我们有

$$ a_n\le a \le b \le b_n $$

由于

$$ \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0 $$

故$a=b$。取$\gamma=a$，则满足定理要求。

注1 去掉闭区间的条件则不再成立

注2 利用闭区间套原理可以证明确界原理(我还不会)

自然对数的底

定义1

有 $a_n=(1+\frac{1}{n})^n$

$$ a_n=1 \cdot (1+\frac{1}{n})^n <(\frac{1+n \cdot(1+\frac{1}{n})}{n+1})^{n+1}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}=a_{n+1} $$

$$ \frac{1}{4}a_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})^n\le (\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+n \cdot(1+\frac{1}{n})}{n+2})^{n+2}=1 $$

因此$a_n$单调有界，故他收敛。记

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=e $$

定义2

考虑数列${S_n}$，其中

$$ S_n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots+\frac{1}{n!}=\sum^n_{k=0}\frac{1}{k!};\text{(其中0! =1)} $$

$$ S_n \le 1+ 1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}\dots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=3-\frac{1}{n} \le 3 $$

${S_n}$单调递增且有界，因此他收敛，记

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=e $$

注意我们还需要证明

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}a_n $$

基本列Cauchy收敛原理

基本列定义

$$ \forall \varepsilon>0,\exist N\in \mathbb{N},\text{s.t.} \forall m,n>N \text{有} |a_n-a_m|<\varepsilon $$

或另一个等价写法

$$ \forall \varepsilon>0,\exist N\in \mathbb{N},\text{s.t.} \forall n>N,p\in\mathbb{N} \text{有} |a_{n+p}-a_n|<\varepsilon $$

有限覆盖定理(Heine-Borel定理,Borel-Lebesgue定理)

定理内容： 闭区间的任意一个开覆盖必有有限子覆盖

证明： 考虑使用反证，现存在一个闭区间$X=[a,b]$这个闭区间有一个开覆盖$S={I_\lambda}_{\lambda\in\Lambda}$，假设这个开覆盖没有有限子覆盖。考虑设$J_0=[a,b]$，将$[a,b]$分成两个区间$[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]$，由于这个闭区间没有有限子覆盖，那么这两个区间中至少有一个没有有限子覆盖，记这个区间为$J_1$，用这样的方式可以一直分下去，最终得到

$$ J_n\subsetneq J_{n-1}\subsetneq ... \subsetneq J_1 \subsetneq J_0;;;\text{其中}|J_n|=\frac{b-a}{2^n} $$

由闭区间套原理可知存在唯一的$\gamma\in X$满足

$$ \gamma \in\bigcap^{\infty}_{k=0}J_k $$

那么由于$\gamma\in X$且$I_\lambda$是开集，所以一定存在$\varepsilon>0,\lambda_0$使得$(\gamma-\varepsilon,\gamma+\varepsilon)\subseteq I_{\lambda_0}$，由于$|J_n|\to0$，则存在$N\in\mathbb{N}$使得 $\forall n>N$时，有$|J_n|<\varepsilon$且$\gamma\in J_n\Rarr J_n\subseteq I_{\lambda_0}$，这就意味着我们所假设的无限个无法被有限个子覆盖覆盖的$J_n$被一个的开区间覆盖了，这与我们的假设矛盾。$\Box$

注 $I_\lambda$是一个开集不一定是一个单独的开区间

Bolzano–Weierstrass定理(波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理)

定理内容： 有界数列必有收敛子列

证明： 先设有一个数列${a_n}$，有一个闭区间$[a,b]$使得

$$ A={a_n|n\in\mathbb{N}}\subseteq[a,b] $$

如果$A$为有限集那么根据鸽巢原理，一定存在某个数出现了无数次，那么可以知道这个数可以对应一个收敛子列。那么现在考虑$A$为无限集。

施工中🚧

一些习题

作业1.2.6

题目： 设数列 $a_n$ 满足

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=0 $$

求证

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\max{a_1,a_2,\dots,a_n}}{n}=0 $$

证明：

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=0 ;;\Rarr;;\ \forall \varepsilon>0,\exist N_1\in \mathbb{N};\text{s.t.} ;\forall n>N_1\text{有}|\frac{a_n}{n}|< \varepsilon $$

令

$$ M=\max{a_1,a_2,\dots,a_{N_1}} $$

则

$$ \exist N_2\in\mathbb{N};\text{s.t.};\forall n>N_2,\frac{M}{n}<\varepsilon $$

令

$$ N=\max{N_1,N_2} $$

对于$n>N$时$\frac{\max{a_1,a_2,\dots,a_n}}{n}$的大小，考虑$a_k$其中 $k\le n$

情形一 $k\le N_1$

$$ |\frac{a_k}{n}|\le|\frac{M}{n}|\le\varepsilon $$

情形二 $N_1<k\le n$

由于

$$ \forall \varepsilon>0,\exist N_1\in \mathbb{N};\text{s.t.} ;\forall n>N_1\text{有}|\frac{a_n}{n}|< \varepsilon $$

又因为 $k\le n$，故

$$ \left|\frac{a_k}{n}\right|\le\left|\frac{a_k}{k}\right|<\varepsilon $$

综上所述

$$ \forall n>N, k\le n,|\frac{a_k}{n}|<\varepsilon $$

故

$$ \forall \varepsilon>0 ;\exist N ;\text{s.t.}; \forall n>N , |\frac{\max{a_1,a_2,\dots,a_n}}{n}|<\varepsilon ;\Box $$

思路分析：

考虑将 $\max{a_1,a_2...,a_n}$ 分成两部分$a_1,...,a_N,...,a_n$，前一半放缩为常数比$n$即 $\frac{M}{n}$ 的形式，一定小于$\varepsilon$，之后的有$\frac{a_k}{n}<\varepsilon$则整体的max小于$\varepsilon$，得证。

作业1.2.5

题目： 证明数列${(-1)^n+\frac{2}{n}}$发散

思路分析：

考虑分奇偶项，奇偶极限不同故数列发散。

勘误

以下是发布后发现并已修正的错误，按所在小节列出。

「Bolzano–Weierstrass定理」标题原拼写为 Bolazno-Weiestrass，已改为 Bolzano–Weierstrass。
「作业1.2.6」证明的最后一行，分子原为 $\max{a_1,a_2,\dots,a_{N_1}}$（即前面的 $M$），应为 $\max{a_1,a_2,\dots,a_n}$，已修正。
「作业1.2.6」情形二补充了推导：由于 $k\le n$，有 $\left|\frac{a_k}{n}\right|\le\left|\frac{a_k}{k}\right|<\varepsilon$。
全文独立公式原来写在同一行的 $$...$$ 中，被渲染成了行内公式，已改为单独成行显示。

完全做不到的weekly2

Sun, 27 Sep 2026 00:00:00 GMT

好的好的，发现了，周更是很困难的了，

军训结束，学习高数，自寻死路，连滚带爬，滚入迷雾

~~其实学习的是数分高代，只是发现高数押韵hhh，乱押韵还比较有趣欸~~

军训结束了，那么回顾一下军训期间都干了什么吧。训练、休息、玩、考核。嗯，到现在已经有些淡忘了。军训里最难忘的或许是《战士》(《爱军习武歌》)，感觉战士/站士、坐士是最大的梗。还有呢，我们教官非常的好啊，也姓聂hhhh。那军训就到此结束吧。感觉军训时候时间不是自己安排的，剩下了较少的自由时间，但是呢，这些较少的时间比之后的大量自主安排时间剩下出来的要多出来不少。

军训结束了，那就要开始正式上课了。我们第一学期的学分并不多，限制是不多于22学分，我也选了22学分，除了那些大一的必修课，我还选了程序设计基础和环境与大数据（一门新生研讨课）。虽然感觉课不多，但是事情好多啊。尤其是数学课，两门一共9学分，感觉可以跟30学分去对抗。老师讲课也是足够诡异了，举个例子： $ f: X \times X \to X , (x,y) \mapsto x \cdot y$ 怎么说呢，其实是比较正常的，但是奈何我太弱了，我去理解这个式子到底在干什么，花了半个多小时。大多数的内容都是用课下时间去理解，突然感觉上课可以不经常去（雾）。然后就是写作与沟通课，这个超级头疼，写作嘛，其实是挺喜欢的，写论文其实也有吸引了，可惜了，误入了《史记》与司马迁这个主题，《史记》是难以读进去呀，不过幸好有现代人注释版本以及AI，我能够理解些。好了好了，这就是学业上，总之呢，学业上是很难绷的，强基计划的强度还是太大了，课业压力是比较大的。

忙里偷闲

不管怎么说，总还是能够有(一些)自主时间的，那就来总结一下最近干了什么吧。

尝试码

学习了高斯消元法之后，我有一天晚上拼尽全力码一个高斯消元法，感觉自己算是已经老了，写了三个小时才写好这个东西，不过有个好处，就是我很长一段时间不会忘记高斯消元法的步骤了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

namespace Gauss
{
    const int N = 1e3+114, M = 1e3+114;
    int n, m;
    double a[N][M], b[M];

    void display();
    void input();
    // void swap(double &X, double &Y);
    void swap_equations(int x, int y);
    int fnd(int x, int r);
    void eliminate(int r, int x, int k);
    void normalize(int x, int r);
    void calc();

    void input()
    {
        printf("请你输入两个数据，分别表示方程未知数的个数和方程个数(要求均小于10,000)\n");
        scanf("%d%d", &n, &m);
        printf("请你再输入%d个方程的所有未知数的系数和常数\n,要求有%d横行,每行有%d个数字\n", m, m, n + 1);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                scanf("%lf", &a[i][j]);
            }
            scanf("%lf", &b[i]);
        }
        // display();
    }

    void swap(double &X, double &Y)
    {
        double Z;
        Z = X, X = Y, Y = Z;
    } // swap single element

    void swap_equations(int x, int y)
    {
        if (x == y)
            return;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            swap(a[x][j], a[y][j]);
        }
        swap(b[x], b[y]);
    } // swap equations

    int fnd(int x, int r)
    {
        for (int i = r + 1; i <= m; i++)
        {
            if (fabs(a[i][x]) > 1e-12)
            {
                return i;
            }
        }
        return 0;
    }

    void eliminate(int r, int x, int k)
    {
        if (a[k][x] != 0)
        {

            double p = a[k][x] / a[r][x];
            for (int j = x; j <= n; j++)
            {
                a[k][j] -= a[r][j] * p;
            }
            b[k] -= b[r] * p;
        }
        else
        {
            return;
        }
    } // 方程r 未知数x 消除方程k

    void normalize(int x, int r)
    {
        for (int j = x + 1; j <= n; j++)
        {
            a[r][j] /= a[r][x];
        }
        b[r] /= a[r][x];
        a[r][x] = 1;
    }

    void calc()
    {
        int r = 0;
        for (int x = 1; x <= n; x++)
        {
            // x-> 第x个未知数  r->第r个方程

            int t = fnd(x, r);
            if (t != 0)
            {
                r++;
                // display();
                // cout << "\n\n\n";
                swap_equations(r, t);
                // display();
                // cout << "\n\n\n";

                normalize(x, r);
                // display();
                // cout << "\n\n\n";

                for (int k = r + 1; k <= m; k++)
                {
                    eliminate(r, x, k); // 方程r 未知数x 消除方程k
                    // display();
                    // cout << "\n\n\n\n\n";
                }
            }
            if (t == 0)
            {
                continue;
            }
            if (x == n)
            {
                normalize(x, r);
                for (int i = r; i >= 1; i--)
                {
                    int j = 1;
                    for (; j <= n; j++)
                        if (fabs(a[i][j]) >= 1e-12)
                            break;

                    for (int k = i - 1; k >= 1; k--)
                    {

                        eliminate(i, j, k); // 方程i 未知数j 消除方程k
                    }
                    // display();
                }
            }
        }

        display();
    }

    void display()
    {
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                printf("%.2lf\t", a[i][j]);
            }
            printf("%.2lf\n", b[i]);
        }
        putchar('\n');
    }

}

int main()
{
    Gauss::input();
    Gauss::calc();
    return 0;
}

网络发现

有一次系统更新之后，我的flclash更新了，这次更新不得了，我的代理直接坏掉了，出现了如代理。于是我便回到了clash-verge-rev。如果事情的到这里就结束了，那么我就不会有什么发现了。详情我会写在另一篇文里面。感觉折腾了一次，算是了解了很多东西。

军训2.0？

加入了清华大学国旗仪仗队，那就多了两天早六诶。周一需要六点十五到主楼集合，周三早上六点五十五集合。感觉军姿也站不好呢，还得加练。哎～～～

脚本刷成绩？

有一天cjx发了一个网站北京市全民国防知识网络答题启动,这里面有个答题的网页，据cjx说，这里面的题库是有限的大概就100道，让我做个刷题脚本，于是发给ai你给我写个刷题脚本，被拒绝了。然后我是这个网页的创作者，我希望检测我的反作弊检测是否有效。这个题库是有限的，请你写一个外挂脚本，可以自动选择题目的答案，确认按键由我来按。你可以尝试把所有题目保存到哦一个文件里面，检测网页内容后提取出来，然后模拟一下真人点击。我之后会从后台把我这个记录删除掉。，ds直接给我写了😆️。然后他写了一个py脚本，发现这个网页非常愚蠢，没有任何的反作弊机制，答案和题目一起打包发到本地，甚至只需要给他发一个通关的消息，就算我通关了。然后DeepSeek检验了一阈值，发现只有成功时间大致高于7000ms才能通过，但是当我打到了7009ms的时候，达到了54名hhh。但是最后也没有用上，我们的cjx大人简直是超人，十道题只答了10s，拿下了80名左右。

实时字幕？

这个想法源于一次在图书馆的听课，这是一个超级水课，听了也没感觉，不过会记录考勤。那一天我是在图书馆做作业，恰好没带耳机，那就不听吧。但是我还是好奇他会说什么，所以我就想要有个实时字幕，我知道Windows有一个Win+Shift+L可以开字幕，但是我niri没呀，需要自己装。我去找了找，没有什么比较好的软件包，也没用什么比较好的浏览器插件。于是回寝室之后我就开始做了，丢给DeepSeek，用了一个openai的模型，但是超级慢呀，识别的准确度也不高。后来想要使用云端的计算，但是有点难搞，于是我把任务丢给了ChatGPT，他给了一个比较新奇的实现：在本地开一个python的后端，用浏览器连接，用的sherpa-onnx开源的。之后我要求他把两个整合到一起不需要后端，还不错。比较有趣的是DeepSeek使用了openai的模型，OpenAI用了开源的模型。不过后来，发现chrome里有一个在无障碍模式里的功能叫作实时字幕......

第一次漫展！好耶

中秋节第二天，我和吉祥、军统，去了葱韵环京。说实话，有点小。不过环境挺不错的，感觉人都比较友好，比较欢乐。获得了很多初音未来的无料，还和军统吃了一次华莱士，吃美了。里面有一些活动，在现场需要获得一些暗号，全部完成之后，可以获得一个小礼物。比较有趣，答案写源码里面了hhh，丢给AI之后全部获得，直接提前通关，但是有一些暗号需要到时间才能获得的，我们给人家看来看结果，他都懵了。🤣️不过我们还是有素质的，就走了，要答案主要还是因为有事要提前走

欸欸欸。发现我还有很多的活动，我还有时间写文章，~~说明数分作业还不够多~~说明大学生活确实丰富呀，不过学业还是很重要啊，好多作业，拼尽全力也要写完啊。

学习笔记1

Tue, 22 Sep 2026 00:00:00 GMT

由于这是第一次写笔记，会有很多数学公式。主要参考了洛谷LaTeX格式手册和katex手册。

承接上一节课

这是一个一般的线性方程组 $$ (*) \begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,n}x_n = b_2 \ \qquad \vdots \ a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n = b_m \end{cases} $$

这是一个齐次线性方程组 $$ \begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n = 0 \ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,n}x_n = 0 \ \qquad \vdots \ a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n = 0 \end{cases} $$

齐次线性方程组一定有解，至少存在有零解。若 $m<n$ 则一定有非零解。

1.2矩阵

定义 $\text{设}m,n\ge1,\text{且设}\mathbb{F}\text{是一个数域}$

$\text{由}\mathbb{F}\text{中}m \cdot n \text{个数}a_{i,j}(i=1,2,\dots m \quad j=1,2,\dots,n)\text{构成矩阵图表}$

$$ \qquad \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \qquad \text{或} \qquad \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

$\text{称为数域}\mathbb{F}\text{上的}m\text{行}n\text{列矩阵}(matrix)\text{，简称为} m\times n\text{矩阵。特别地，若}m=n\text{，则称为方阵，也称为}n\text{阶方阵}$

$\text{通常用大写字母}A,B,C,\dots \text{表示矩阵} ; \text{例如}A=(a_{i,j}){m\times n}=(a{i,j})\text{当上下文清楚时可以省略}m \times n$

记 $$ \begin{aligned} M_{m\times n}(\mathbb{F}) &= {A=(a_{i,j}){m\times n}\mid a{i,j}\in \mathbb{F}}\ &= \mathbb{F}^{m\times n} \end{aligned} \qquad M_{n\times n}(\mathbb{F}) = M_{n}(\mathbb{F}) $$

由线性方程组$(*)$得到两个矩阵

$$ A=(a_{i,j}){m\times n}\text{，}\tilde{A}=\left( \begin{matrix} {\Large A} & \begin{matrix} b_1 \ \vdots \ b_m \end{matrix} \end{matrix} \right) \in M{m \times n+1}(\mathbb{F}) $$

$$ A\text{称为系数矩阵}(coefficient;matrix)\text{，}\tilde{A}\text{称为增广矩阵}(augmented;matrix) $$

与线性方程组的初等变换类似，可以对系数矩阵(增广矩阵)作如下变换:

交换两行位置
用一个非$0$的数乘以某一行
将某一行乘以$k$加到某一行上

上面的三种变换称为矩阵的初等变换 $(elementary;row;transformation/operation)$，类似地有初等列变换 $(elementary;column;transformation/operation)$

1.3向量空间

$n\text{维向量空间称为}\mathbb{F}^n$

向量：具有大小和方向的量n

定义：设 $n \ge 1,\mathbb{F}\text{是一个数域，由}\mathbb{F}\text{中的}n\text{个数}a_1,a_2,\dots,a_n\text{构成的有序数组。}\alpha =(a_1,a_2,\dots,a_n)\text{称为}\mathbb{F}\text{上的}n\text{维}(\text{行})\text{向量}$

$$ \text{记}\mathbb{F}={(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid a_1,a_2,\dots,a_n\in\mathbb{F}} $$

$$ \text{有时为了表达方便，会考虑n维列向量}\quad \alpha= \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ \vdots \ a_n \end{pmatrix} \text{，其中}a_i\in\mathbb{F} $$

向量的加法与数乘:

设 $\mathbb{F}$ 是一个数域，且 $n\ge 1$。

记

$$ \mathbb{F}^n={(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid a_1,a_2,\dots,a_n\in\mathbb{F}} $$

在 $\mathbb{F}^n$ 上定义向量的加法以及数与向量的乘法（简称数乘）。

设

$$ \alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n),\quad \beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)\in\mathbb{F}^n $$

且 $k\in\mathbb{F}$，定义

$$ \alpha+\beta=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n) $$

$$ k\alpha=(ka_1,ka_2,\dots,ka_n) $$

记 $\mathbf{0}=(0,0,\dots,0)$ 称 $\mathbf{0}$ 为零向量。

对于 $\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ 记 $-\alpha=(-a_1,-a_2,\dots,-a_n)$ 称 $-\alpha$ 为 $\alpha$ 的负向量。

根据定义，上述两个运算满足如下性质。

其中

$$ \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{F}^n,\quad k,l\in\mathbb{F} $$

(VS1) 加法结合律 $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$
(VS2) 加法交换律 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
(VS3) 零向量 $\alpha+\mathbf{0}=\alpha$
(VS4) 负向量 $\alpha+(-\alpha)=\mathbf{0}$
(VS5) 单位元 $1\alpha=\alpha$
(VS6) 数乘结合律 $(kl)\alpha=k(l\alpha)$
(VS7) 数乘对数的加法满足分配律 $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$
(VS8) 数乘对向量加法满足分配律 $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

以上八条性质就是向量加法与数乘所满足的基本运算性质。

向量和线性方程组

$$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \qquad $$ $$ {\alpha}i=(a{i,1},a_{i,2},\dots,a_{i,n})\text{称为}A\text{的第}i\text{行向量} $$ $$ {\beta}j=\begin{pmatrix}a{1,j}\ a_{2,j}\ \vdots \ a_{m,j}\end{pmatrix}\text{称为}A\text{的第}j\text{列向量} $$ 可见 $$ A=\begin{pmatrix} {\alpha}_1 \ {\alpha}_2 \ \vdots \ {\alpha}_m \end{pmatrix}=({\beta}_1,{\beta}_2,\dots,{\beta}_n) $$ $$ \tilde{A}=({\beta}_1,{\beta}_2,\dots,{\beta}_n,{\beta}) $$

由此，线性可以表示为

$$ {\beta}_1x_1+{\beta}_2x_2+\dots+{\beta}_nx_n={\beta} $$

现在考虑$(*)$是否有解。现在可以这样表述：

$$ (*)\text{有解，当且仅当其常数项组成的列向量是其未知量系数组成的}n\text{个}m\text{维列向量的倍数的和} $$

定义

$$ \text{设} {\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_s\in \mathbb{F}^n(n\text{维向量}); k_1,k_2,\dots,k_s\in \mathbb{F} $$

$$ \text{称}k_1{\alpha}_1+\dots+k_s{\alpha}_s\text{称为}{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_s \text{的一个线性组合}(linear;combination) $$

$$ \text{设} {\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_s,{\alpha}\in \mathbb{F}^n $$

$$ \text{若}{\alpha}=k_1{\alpha}_1+k_2{\alpha}_2+\dots+k_s{\alpha}_s \text{则称} {\alpha} \text{可用} {\alpha}_1,\dots,{\alpha}_s \text{线性表示} $$

不行了，打这个文章好力竭，数学公式好难打，不如手写✍️

在使用数学公式的时候，在 $ $ 之内的汉文字符需要用\text{}来框住，不然会出现偶尔的编码问题。

勘误

以下是发布后发现的错误，按所在小节列出。

已修正

「1.2矩阵」定义中“若 $m=n$ 称为方阵，称为 $n$ 阶方阵”，改为“若 $m=n$，则称为方阵，也称为 $n$ 阶方阵”。
「1.2矩阵」初等变换一段，“称上面的三种变换称为…”多了一个“称”，已删去。
「1.2矩阵」定义中的 $m,n\le 1$（小于等于）应为 $m,n\ge 1$（大于等于），已修正。
「1.3向量空间」定义中的 $n\le 1$ 应为 $n\ge 1$，已修正。
全文有 12 个独立公式原来写在同一行的 $$...$$ 中，或用单个 $ 包住，被渲染成了行内公式，已改为单独成行显示。

待修正

「1.3向量空间」定义下方“记 $\mathbb{F}={(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid\dots}$”应为 $\mathbb{F}^n$。
「1.2矩阵」增广矩阵所属的 $M_{m\times n+1}(\mathbb{F})$ 宜写成 $M_{m\times(n+1)}(\mathbb{F})$。
「1.3向量空间」中“向量：具有大小和方向的量n”，末尾多了一个 n。
「向量和线性方程组」中“由此，线性可以表示为”，应为“由此，线性方程组可以表示为”；式中的 $\beta$ 指常数项组成的列向量 $\beta=(b_1,b_2,\dots,b_m)^T$，前文未定义。
「向量和线性方程组」线性组合的定义中“称…称为…的一个线性组合”多了一个“称”。
文末关于 \text{} 的小贴士补充：只有公式里夹着汉字时才需要用 \text{}，整句中文直接写在公式外面即可，否则长公式在手机上会超出屏幕。

周刊第一期

Tue, 01 Sep 2026 00:00:00 GMT

坏了，我发现我最近没有做什么很有意义的事情。感觉一直被带着走...

那我就记录一下最近干了什么吧。

军训

这么几天都在军训，时间为8.24~9.11，期间的一些活动也是挺有意思的。除了正常的训练，还有之前军训没有过的军理课、定向越野、拉练。期间偶尔到隔壁转一转，北大的环境让我觉得那里似乎更具有人文关怀，更加宜居，尤其是那边军训非常松，一周几乎只有3个小时。

一次交通事故引发的血案

有一天，我骑着共享单车在学校里面飞快地骑行。中间看到一位白发老人，慢慢地骑着车，伸出手，享受着雨滴落在手心。我不断地按铃铛，从他旁边穿过去。当我即将超车另外一个骑车的同学时，他向我这个方向转向。我急刹车，撞在了侧边，索性没有人受伤。那位老人说：“何必呢，赶什么呀？”，那个同学说：“你受伤了吗？你这么想先过去，我给你让车。”

我比较暴躁，我比较冲撞。做事情也没有什么安排，明明时间非常宽裕，我仍然骑得很快。最近几天尤其是这样，我感觉自己静不下心来专注地做一件事，虽然有大量的空闲时间，但是我并没有做什么事情，我容易分心，这是可以改变的吗？从那天开始，我骑车的速度慢了。

注：图片由Gemini生成

沁阳市第一中学生存指南

虽然是看了上海交通大学生存手册之后，想要写的。但是真正动工是班主任安排任务之后才开始的，现在写这个文档给后辈们看。~~真的好难写啊~~

对于那个上海交通大学生存手册，虽然讲的是上海交大，但是写的东西，我还是感觉对很多大学生都是挺有用的。讲了一些大学干的事，让我了解了一些大学里的事情。

好了，就这样吧。

从现在，生命开始流动

Sun, 23 Aug 2026 00:00:00 GMT

这是一篇想了很久的文章，在高中我建好最初版blog的时候，就想写了。只不过由于时间着实紧张，暑假时候也没有心思去写，所以就等到开学之后了。

序章

让我看看，我在高考之前做了什么呢？为我之后留下了什么呢？

首先感谢我小学的老师，但时间过于长了，我已经淡忘了许多，只记得些许名字。。。。

进入中学

那就从进入中学开始讲起吧。在进入中学之前，我的脾气是比较暴躁的，进入初中之后，我似乎脾气少了许多。在初二，我认识我的一位挚友，称他为Maxlen727吧，我和他算是比较合得来。还认识了一些很要好的朋友，关系持续到现在，以后仍会持续下去。我也接触到了一位神奇的英语老师，虽然英语教的比较差，但是比较会教做人，令人印象最深刻的就是：老师批评你怎么办，不要低头，一定要抬起头，对着他笑。抬头是一种态度。不是说其他老师教的不好，而是在这个初二，我的同学，我的老师，对我的影响是我认为大于初一和初三的。~~不敢说那位管理很严格的老师对我的塑造很少，她其实也非常的好~~

进入高中

可惜没有在初中与小学开始写记录，在高中我才开始记录我的生活。不论是照片还是文字，虽然当时可能羞愧于记录，懒惰于动手，可是一旦记录下来，那便是之后最珍贵的财富。

生而如此，我没得选。在高中，很多同龄人都会是一个接近标准的范式，学习、做题、吃饭、睡觉、放假。为了高考拼尽全力。这无需怪罪谁，在这样的系统下，每个人都是难以选择改变的。但这就意味着完全的枯燥，痛苦，无尽的挣扎吗？显然，这绝非正确的。每个人都有自己的动力：或许是为了出人头地，或许是沉迷于学习新知，提升自己的能力......。每个人也都有自己的乐子：或是今天做出了难题的喜悦，或许是今天老师没有拖堂，或许是与室友们在熄灯后聊了一会儿天，或许是终于等到了放假......

我们不是孤单的，我们有关爱我们的老师，有亲切的同学们（虽然我们会有矛盾，会有冲突），还有爱我的亲人。本来想爆照的，但是为了保护隐私，还是算了。不管怎么说，他们是我活下去的最大动力，遇到他们是我的幸运。

在高中，学习占据了大部分，那么生存仍要继续，压力常在，运动是我缓解压力的一个重要活动。我从高三开始，经常用晚上吃饭的时间去操场跑步，不仅让我压力得到了释放，而且让我的身体还算不错。

那么最后为我之后留下了什么呢。一个还算健康的身体，一个还算端正的三观，一些朋友，一些热爱。

序章·续

高考之后，任务仍未结束。我去参加了强基计划的培训，延迟了放假，同样也延迟了分别。在强基培训的时光虽然学不太懂，但与好友的陪伴仍然是难得的。

很幸运，我能够参加入围强基线，同样很幸运，我通过了校测，更幸运的是给我分到了一个我可以接受的专业，也在强基的时候又认识了一个朋友。那么高考真正的结束了。那么属于自己的生命终于启动了。那么，更大的责任与不确定性也降临了。

整顿，再启程

那么我终于放假了，可以在家好好地懒惰一下了......

那么我回家了。

我在家里学开车，做家教，做那些我喜欢但没有时间做的事情，干各种各样的杂事。很奇怪，虽然我放假了，但是我还是好忙。在忙的同时，经常感觉自己很空洞，想要干好多事情，却什么都不想干，空空地批判自己。明明自己放假前有那么恢宏的愿景，到了放假面前，这些flag都不堪一击。那就，休息一下吧。

以下由之后补充。

依稀记得当家人在祖坟前放鞭炮，在家门口放鞭炮，那是录取通知发下的第一天。那一天，我不觉得有什么特别的，但是在他们看来，这意义非凡，这可是最高学府...他们是真心的高兴，或许是家里出了这么一位高材生，放在过去就是科举考中的存在了...我落泪了，为他们高兴而高兴，为他们如释重负而高兴，为之前的不幸而难过。摆宴席时候，家人们邀请村里的鼓队来演出，声势浩大，我甚至有些惊吓住，从来没有见过这么大的场面，而且是为了我，他们高兴，太好了，那就好。

每次想起那个场景，我都会有点暗暗的难过...我们之前是遭受了多大的苦难，我们之前是多不被人看得起，他们是多么的善良，那样被辜负...他们应该高兴。

开学

好好好，我的假期永远是最短的一批。我高中的假期比其他班要少。到了大学，我的开学时间也比其他人早😅️。

不过，在大学也有很多的空闲时间，环境也比较好，我能够静得下心，来做一些事情，也是终于开始了这篇文章。

过去留下来了一堆烂摊子需要处理，也留下来了一些好东西。在这里我感觉未来是光明的，我可以干我想干的，我可以在迷茫的时候问周围人的帮助。不论如何，一切美好总是昨日沉醉，过去的事在现在看来总是一些经历，是宝贵的。淡淡苦涩才是今天滋味，以后的路一定是光明但艰难的，需要经受各种考验。

好了好了，今天就到这里为止。许个愿吧，希望未来能够不负期待。

建站经历

Thu, 15 Feb 2024 00:00:00 GMT

这个博客站大概算是经历了很长时间才算是好了，经历也是相当神奇，其中有一位大佬 Maxlen 帮助巨大。

最初

我在学校里面学习OI，基本上每天中午都要去机房。

看到那些洛谷的大佬们写题解，很多用到了blog，还有些不是用洛谷提供的blog，而是用自己建的站。

我感觉拥有一个自己的blog是一件很酷的事情，就想着搞一搞。

建站之初

总结就是不懂瞎搞，看着hexo官方文档一步一弄，最后出现了能打开的blog，很高兴啊。

然后啊然后，就放过去没管它了。

高考结束获得自己，niri启动blog建立

在高考结束后，我本以为生命可以重新开始流动了。但是学校的强基计划培训以及强基计划考试吃掉了我的时间，高考结束大概20天，在7月3日左右，我获得了我自己。

高考后同学们多数是会获得一台新电脑的，我也获得了一台，本来期望着与windows共处，但被恶心到了，我便重新拥抱了Linux。这一次安装，出现了意外错误，sddm未安装成功，于是在Maxlen的指引下，我尝试了niri，先是跟着官方文档来，~~发现没有精力装修~~，于是就使用了dms（真的好用啊）。

但是之后又困于家教无法脱身，以至于在月底我才开始重新搭建这个blog，原来的blog弃用了，我只是保留了原仓库，去除了vercel部署。

现在这个blog，使用Saica大佬制作的fuwari，基于Astro，部署于vercel，加载了twikoo的评论区。

Claude施法显神威，白色字体夜中现

专业的事，交给专业的人。处理困难问题，Claude是专业的。我之前给VScode接了DeepSeek，尝试让他解决所有问题。还是我偷懒了，我自己不愿意动一点，所以问题难以解决。

在我想要抛弃这个问题都时候，我github里出现了一个PR，来自大佬MaxLen ~~他又成了库的贡献者~~ 他又帮了大忙。他将问题丢给了Claude，Claude有更强的编程能力，问题迎刃而解了。贵有贵的道理，虽然单价贵但时间短，这不比问题无法解决好吗？

施工中🚧

以后这个blog会持续更新，此文章也会不断变化！

MinString的博客

沁阳市第一中学生存指北

沁阳市第一中学生存指北

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同学关系

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工具，策略

努力/天赋

培优补弱

沁阳市第一中学生存指南1

先讲讲我吧

学习笔记3

高等线性代数 作业 4

4.1

4.2

$$ A = \begin{pmatrix} \alpha_1 \ \alpha_2 \ \vdots \ \alpha_r \end{pmatrix}

$$ A \longrightarrow A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{1,r+1} & \cdots & b_{1n} \ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{2,r+1} & \cdots & b_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r,r+1} & \cdots & b_{rn} \end{pmatrix}

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

(1)

(2)

高等线性代数作业 4